Математическое обоснование парадокса Монти-Холла

В этом парадоксе, как и во многих других задачах в применении к теории вероятностей важно правильно выбрать события, вероятности которых мы оцениваем.

Для простоты доказательства будем считать, что игрок вначале выбрал первую коробку, а ведущий открыл вторую. В любом случае, мы всегда можем прийти к этой ситуации, перенумеровав коробки.
Итак, пусть Bi (box i) - приз в коробке под номером i.
P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3.
Назовем событие, когда ведущий открывает пустой ящик - O (open)
{B1, B2, B3} - полное распределение несовместных событий, значит мы можем применить формулу полной вероятности и теорему Байеса.

P(O) = P(O|B1) * P(B1) + P(O|B2) + P(O|B3)

O|B1 - это обозначение случая, когда ведущий открыл вторую коробку, а приз - в первой. Раз приз в первой коробке (другими словами - в той, которую выбрал игрок), ведущий может выбирать, какую коробку ему открыть. Он может одинаково легко открыть как вторую, так и третью, то-есть вероятность этого события равна 50%.
Так и запишем:

P(O|B1) = 1/2.

O|B2 - случай, когда приз во второй коробке, иными словами - в той которой лежит приз. Это против правил и сломало бы всю игру, значит

P(O|B2) = 0.

O|B3 - случай, когда приз в третьей коробке. Первую коробку уже выбрал игрок, коробку с призом ведущий открывать не станет, и ему не остается другого выбора, кроме как открыть вторую коробку (ту самую, которую он и открыл), поэтому

P(O|B3) = 1.

Подставим значения в формулу:

P(O) = 1/2 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3 = 1/2.

По теореме Байеса

P(B1|O) = P(O|H1) * P(H1) / P(O) = (1/2 * 1/3) / (1/2) = 1/3.

P(B2|O) = 0 - это очевидно,

P(B1|O) + P(B2|O) + P(B3|O) = 1 (так как распределение B полное и несовместное),

значит P(B3|O) = 1 - P(B1|O) = 2/3.

Что и требовалось доказать :)